Die Iwasawa Theorie » Zahlen, Idealklassen und Körpertürme

Die in den 1950ern gegründete Iwasawa-Theorie ist auf den namensgleichen Kenkichi Iwasawa zurückzuführen und bezeichnet den mathematischen Bereich der Zahlentheorie zur Bestimmung der Idealklassengruppe von unendlichen Körpertürmen, vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe strukturgleich, also isomorph, zu den additiven p-adischen Zahlen ist. Mit Hilfe dieser Theorie ist es möglich, Kreisteilungskörper näher zu untersuchen. Die hohe Bedeutsamkeit dieser Theorie ist nicht zuletzt die durch Barry Mazur hergestellte Verbindung zu Verallgemeinerungen der Iwasawa-Theorie auf abelsche Varietäten. Darüber hinaus stellte Ralph Greenberg einen Zusammenhang zwischen dieser Theorie und Motive heraus.

Iwasawa Theorie: Bild aus der Geometrie als Sinnbild für Mathematik

Die Ausgangssituation

Wie eingangs erwähnt, betrachte Iwasawa zunächst Körpertürme in der algebrischen Zahlentheorie. Diese Gruppe ist multiplikativ und wird mit Γ gekennzeichnet. Für sie gilt der inverse Limes der additiven Gruppen ℤ /pn ℤ , wobei p eine fixierte Primzahl darstellt und n eine natürliche Zahl ist.

Beispiel zur Iwasawa Theorie

Es wird angenommen: ζ = ζp ist eine primitive p-te Einheitswurzel und betrachtet den Körpertum K = Q (ζ) ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ C. Dabei kennzeichnet Kn den einer primitiven pn+1 -ten Einheitswurzel erzeugten Körper (Indizierung zu beachten!). Wenn K∞ die Vereinigung von all diesen Körpern darstellt, dann ist die Galoisgruppe Gal (K∞/K) isomorph zu Γ, weil Galoisgruppen von Kn über K gleich ℤ/pn ℤ sind. Abelsche Gruppen, die auf Galoisgruppen operieren, werden in der Mathematik interessantes Galois-Modul genannt. Ein eben solches Galois-Modul ergibt sich bei p-Torsion der Idealkassengruppen der involvierten Zahlenkörper. Es wird angenommen: p-Torsion als eine Idealklassengruppe von Kn wird mit In gekennzeichnet. Eine Verbundenheit durch Norm-Abbildungen ist mit Im à In für m > n gegeben und stellen ein gerichtetes System dar. Die besagte Gruppe Γ operiert dann auf dem bereits genannten inversen Limes I. Des Weiteren stellt I ein Modul über dem proendlichen Gruppenring ℤp [[Γ]] dar (dieser Zusammenhang ist auf den Mathematiker Jean-Pierre Serre zurückzuführen). Dieser Gruppenring, welcher auch Iwasawa-Algebra genannt wird, ist in der Regel zweidimensional, wobei es hier möglich ist, das betreffende Moduln zu kategorisieren.

Iwasawa erkannte in diesem Zusammenhang, dass die p-Torsion der Idealklassengruppe K∞, wie es bereits der deutsche Mathematiker Kummer feststellte, das zentrale Hindernis für einen Beweis des Großen Satzes von Fermat war. Kummer ging davon aus, dass eine Primzahl dann regulär ist, sofern sie nicht die Klassenzahl von Q(ζp) teilt. Iwasawa hingegen verfolgte den Ansatz, diese Torsion strukturiert mit der unendlichen Galois-Theorie zu studieren, was ihm ermöglichte, die p-Torsionen numerisch zu beschreiben. Dieser Gedankengang stellt den Kern des Satzes von Iwasawa dar.

Satz von Iwasawa

Es wird angenommen: Ein Körpertum Kn, dessen Galoisgruppe die p-adischen Zahlen sind, ist gegeben, wobei pe n die Ordnung der p-Torsion von In darstellt. Somit gibt es die ganzen Zahlen μ, λ und ν solcherart, dass für n hinreichend groß die Beziehung en = μpn+ λn + ν gilt.

Beweis

Die Klassenkörpertheorie ermöglicht eine Erweiterung Ln von Kn, sodass In ≅ Gal (Ln/Kn) gilt. Dabei ist Ln die maximale unverzweigte p-abelsche Erweiterung von Kn. Schließlich bildet die Vereinigung der Ln einen Körper L∞, der somit die maximale unverzweigte abelsche pro-p-Erweiterung von K∞ bildet. Anschließend wird die Galoisgruppe X = Gal (L∞/K∞) betrachtet, welche der inverse Limes der Gruppen Gal (Ln/Kn) darstellt, die als Quotienten von X auftreten. Des Weiteren besitzt die Gruppe X als abelsche pro-p-Gruppe die Struktur eines ℤp-Moduls. Zudem operiert die Galoisgruppe Gal (K∞/K) auf besagtes X, welches auf diese Weise ein ℤp [[T]]-Modul wird. Dieses Modul wird daher Iwasawa-Modul genannt. Mittels Strukturuntersuchungen und die Klassifikation aller Iwasawa-Moduln (mit Ausnahme von den Pseudo-Isomorphismen) kommt man zu asymptotischen Abschätzungen für die Ordnungen von Gal (Ln/Kn) und schließlich von In.

Weiterentwicklungen und zentrale Vermutung zur Iwasawa Theorie

Die Mathematiker Tomio Kubota und Heinrich-Wolfgang Leopoldt, welche sich ebenfalls umfassend mit der Zahlentheorie / Iwasawa Theorie befassten, stellten einen grundlegenden Zusammenhang zwischen der Modultheorie Iwasawas und p-adischen L-Funktionen dar. Eben diese Funktionen werden, ausgehend von den Bernoulli-Zahlen mittels Interpolation, näher beschrieben und stellen p-adische Analogien zu den sogenannten Dirichlet L-Funktionen dar. Iwasawas Hauptvermutung sagt dabei in diesem Kontext aus, dass die zwei Ansätze, nämlich die Modultheorie und die Interpolation, und ihre Definition von p-adische L-Funktionen, miteinander übereinstimmen. Diese Annahme wurde im Jahr 1984 von den Mathematikern Barry Mazur und Andrew Wiles für rationale Zahlen (ℚ) bestätigt und später auch von Andrew Wiles auf alle total reellen Zahlen übertragen und bewiesen. Die erfolgten Beweise haben dabei stets Ken Ribets Beweis der Umkehrung des Satzes von Herbrand zugrunde.

Den Mathematikern Chris Skinner und Eric Urban ist im Jahr 2014 ein fundamentaler Beweis der Hauptvermutung für einzelne Familien von Spitzenformen gelungen. Weitere Ausführungen dazu, waren auf der Iwasawa 2008 (Web: iwasawa2008.de) zu hören.

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